Múltiplos, divisores e números primos
Todo número natural se relaciona com outros por meio de múltiplos e divisores, conceitos que ajudam a resolver problemas de repartição, agrupamento e sincronização de eventos.
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O que são múltiplos de um número
Os múltiplos de um número natural são obtidos multiplicando-o pelos números 0, 1, 2, 3, 4 e assim por diante, formando uma sequência infinita. Os múltiplos de 5, por exemplo, são 0, 5, 10, 15, 20, 25... porque 5×0=0, 5×1=5, 5×2=10, 5×3=15. Todo número é múltiplo de si mesmo e de 1. Essa ideia é usada, por exemplo, para saber em quais dias do mês uma tarefa que se repete a cada 5 dias vai acontecer, bastando listar os múltiplos de 5.
O que são divisores de um número
Divisores de um número são todos os números que o dividem exatamente, sem deixar resto. Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, pois 12÷1=12, 12÷2=6, 12÷3=4, 12÷4=3, 12÷6=2 e 12÷12=1, todas divisões exatas. Já o 5 não é divisor de 12, pois 12÷5 dá resto 2. Encontrar todos os divisores de um número ajuda, por exemplo, a descobrir de quantas formas diferentes é possível organizar 12 alunos em fileiras iguais.
Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são regras práticas para saber se um número é divisível por outro sem precisar dividir. Um número é divisível por 2 se termina em algarismo par (0,2,4,6,8); é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é múltipla de 3, como em 141, cuja soma 1+4+1=6 é múltipla de 3; é divisível por 5 se termina em 0 ou 5. Por exemplo, 231 é divisível por 3 porque 2+3+1=6, mas não é divisível por 2 porque termina em 1 (número ímpar).
Números primos e números compostos
Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores: o número 1 e ele mesmo. Os primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... O número 2 é o único primo par, pois todos os outros pares são divisíveis por 2 além de por 1 e por si mesmos. Já um número composto tem mais de dois divisores, como o 12, cujos divisores são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. O número 1 não é considerado nem primo nem composto, pois tem apenas um divisor.
Fatoração e decomposição em fatores primos
Decompor um número em fatores primos significa escrevê-lo como uma multiplicação apenas de números primos. Para decompor 60, dividimos sucessivamente pelos menores primos possíveis: 60÷2=30, 30÷2=15, 15÷3=5, 5÷5=1, chegando a 60 = 2 × 2 × 3 × 5, ou 2² × 3 × 5. Essa decomposição é a base para calcular o MMC e o MDC entre dois ou mais números, além de ajudar a simplificar frações e resolver problemas de fatoração em álgebra nos anos seguintes.
MMC e MDC
O MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo, e o MDC (máximo divisor comum) é o maior número que divide todos eles exatamente. Para 8 e 12: os múltiplos comuns começam em 24, então MMC(8,12) = 24; os divisores comuns são 1, 2 e 4, então MDC(8,12) = 4. O MMC é muito usado para somar frações com denominadores diferentes, e o MDC é usado para simplificar frações ao menor termo possível.
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Perguntas frequentes
Qual a diferença entre múltiplo e divisor?
Múltiplos de um número são obtidos multiplicando-o por 1, 2, 3, 4... Por exemplo, múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16. Já um divisor é um número que divide outro de forma exata; 4 é divisor de 12 porque 12 ÷ 4 = 3, sem resto.
Como saber se um número é primo?
Um número primo só é divisível por 1 e por ele mesmo. Testamos dividi-lo pelos primos menores que ele: o 13, por exemplo, não é divisível por 2, 3 nem por nenhum número entre 1 e 13, então é primo.
Para que serve o MMC no dia a dia?
O MMC ajuda a descobrir quando eventos que se repetem em intervalos diferentes vão coincidir novamente, como dois ônibus que passam a cada 15 e 20 minutos: o MMC de 15 e 20 é 60, então eles coincidem a cada 60 minutos.