Produtos notáveis e fatoração
Os produtos notáveis são multiplicações algébricas que seguem padrões fixos e aparecem com tanta frequência que vale a pena memorizar suas fórmulas, como o quadrado da soma de dois termos e o produto da soma pela diferença.
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Quadrado da soma e da diferença de dois termos
O quadrado da soma de dois termos segue a fórmula (a+b)² = a² + 2ab + b², e o quadrado da diferença segue (a−b)² = a² − 2ab + b². Para calcular (x+5)², aplicamos: x² + 2×x×5 + 5² = x² + 10x + 25. Para calcular (x−4)², aplicamos: x² − 2×x×4 + 4² = x² − 8x + 16. Esses padrões evitam ter que multiplicar (x+5)×(x+5) termo a termo toda vez, agilizando bastante os cálculos algébricos.
Produto da soma pela diferença
O produto da soma pela diferença de dois termos segue a fórmula (a+b)(a−b) = a² − b², resultando sempre em uma diferença de quadrados. Para calcular (x+7)(x−7), aplicamos diretamente: x² − 7² = x² − 49. Podemos conferir multiplicando termo a termo: x×x + x×(−7) + 7×x + 7×(−7) = x² −7x+7x−49 = x² − 49, confirmando que os termos do meio se cancelam, restando apenas a diferença dos quadrados.
Fatoração por fator comum em evidência
Fatorar por fator comum consiste em identificar um termo que se repete em todas as parcelas de uma expressão e colocá-lo em evidência, escrevendo-o multiplicado pelo que sobra entre parênteses. Na expressão 6x² + 9x, o fator comum entre 6x² e 9x é 3x, então fatoramos: 3x(2x+3), pois 3x×2x=6x² e 3x×3=9x. Essa técnica é o caminho inverso da propriedade distributiva e é sempre o primeiro passo a tentar em qualquer fatoração.
Fatoração de diferença de quadrados
Uma expressão do tipo a² − b² (diferença de dois quadrados) pode ser fatorada diretamente como (a+b)(a−b), usando o produto notável visto anteriormente ao contrário. Para fatorar x² − 16, reconhecemos que 16 = 4², então x² − 16 = x² − 4² = (x+4)(x−4). Da mesma forma, 9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x+5)(3x−5). Reconhecer esse padrão é muito útil para simplificar frações algébricas e resolver equações que envolvem esse tipo de expressão.
Fatoração de trinômio quadrado perfeito
Um trinômio quadrado perfeito é aquele que segue o padrão a² + 2ab + b² (ou a² − 2ab + b²), resultado de um quadrado da soma ou da diferença, e pode ser fatorado como (a+b)² ou (a−b)². Para fatorar x² + 6x + 9, verificamos: x² é o quadrado de x, 9 é o quadrado de 3, e 6x é igual a 2×x×3 (o termo do meio esperado); logo, x²+6x+9 = (x+3)². Da mesma forma, x²−10x+25 = (x−5)², pois 2×x×5=10x e 25=5².
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Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do quadrado da soma de dois termos?
(a+b)² = a² + 2ab + b². Por exemplo, (x+3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9.
Como fatorar a expressão 5x + 5y?
Colocamos o fator comum 5 em evidência: 5x + 5y = 5(x+y), pois ao distribuir o 5 de volta obtemos 5x+5y novamente.
O que é uma diferença de quadrados?
É uma expressão do tipo a² − b², que pode ser fatorada como (a+b)(a−b). Por exemplo, x² − 9 = x² − 3² = (x+3)(x−3).